摘要：开关电器同步分断是电器智能化的发展方向和前沿课题，实现同步分断的首要任务是找到一个快速、有效的预测短路电流变化特性的算法，以便能提前发出控制指令，使触头在最佳的时刻分开。本文从短路电流的一般表达式出发，通过三角变换、代数运算和算术归纳等方法对含有直流衰减分量、基波分量和任意阶高次谐波分量的短路电流进行了分析，推导出预测短路电流变化特性的数学公式，应采用复数知识进行了证明。本文所推导的公式形式简单、计算任务量小，易于软件编程。此外，本文采用Matlab软件分析了算法的工程应用条件：确定了模数转换器的有效位数和测量电路的信噪比，只要模数转换器的有效位大于等于12bit，电路信噪小于等于60bB就能满足工程要求，对硬件要求不高；对电网频率偏移而引起的预测误差进行了分析，并给出纠偏措施。在设计和搭建了短路电流故障模拟及测量电路的基础上，利用记忆示波器采集了若干组实际短路电流，通过Matlab仿真验证了算法的实用性。

 

关键词：短路电流，变化特性，预测，同步分断

 

 

 

一、研究背景及其意义

1、短路及开关电器的职责

电力系统中如果发生短路故障，将产生非常大的短路电流，其值一般是额定电流的10倍以上。为了使电力线路和用电设备免受短路电流的冲击，开关电器应及时动作，从而切断故障电路。然而，开关电器动作以后，动、静触头之间立即产生电弧，由于电弧有良好的导电性，所以虽然触头分开了，但在电弧熄灭以前电路仍然是导通的，只有电弧熄灭了，电路才真正被开断。

2、交流电弧及其熄灭

开断交流电路时，动、静触头之间产生的电弧是交流电弧。交流电弧产生以后不能立即熄灭，要等到电流为零后有可能熄灭，并且能不能熄灭还要看电流为零以后弧隙的介质恢复过程和电压恢复过程的竞赛：如果介质恢复强度始终大于电压恢复强度，则电弧能够熄灭，反之则重燃；如果重燃的话，则只能等待下一次或下下一次电流为零后才能熄灭。

3、最佳分断时刻

理论和实验表明：如果触头分开时刻离电流零点比较远，则零前电弧燃烧时间长、能量大，零后介质恢复强度特性不高，电弧容易重燃；如果触头分开时刻离零点很近，则零前触头开距小、电场强度高、带电粒子来不及散失，零后介质恢复强度特性也不高，电弧同样也容易重燃。因此，存在一个最佳分断时刻。

4、开关电器的同步分断

综上可见，电力系统短路后，如果触头马上就动作的话，若其分开时刻不佳，电弧往往要燃烧好几个半波才能熄灭；如果恰好在最佳分断时刻分开，则只要电流一为零，电弧就能够熄灭。可见，如果能恰到好处地控制触头的分开时刻，则可以减少电弧的燃烧时间，使电路尽快被断开，同时还能减少电弧对触头的烧蚀。基于此，20世纪70年代，学者就提出了对开关电器进行同步分断的设想。近年来，随着电子测量技术、计算机控制技术、数字信号处理技术的进步，开关电器同步分断得到了越来越多的关注，是开关电器智能化的研究热点之一。

5、难点及技术关键

触头从闭合到分开需要经过一定的延时，因此需提前给出分闸指令才能使触头在最佳分断时刻分开。但电力系统突然发生短路故障后，短路电流的变化特性不确定，既含有工频（我国为50Hz）基波分量和少量的高次谐波分量，同时还含有直流衰减分量，并且基波分量、高次谐波分量的幅值和相位角随机不定，直流衰减分量的幅值和时间常数也随机不定。所以，短路电流不再是周期为20ms的对称正弦波了，难以提前知道短路电流什么时候为零，需要找到快速有效预测短路电流变化特性的数学方法，这样才能在适当的时候提前发出分闸命令，从而使触头在最佳分断时刻分开。

6、国内外研究现状

为预测短路电流的零点，学者进行了大量研究，采用傅氏半波算法、最小二乘参数辨识、自适应神经网络等方法估计短路电流的特征参数，预测其变化特性。这些方法都是从短路电流的一般表达式出发，利用短路电流离散采样值提取短路电流的基波分量、谐波分量和直流衰减分量，然后据此计算出短路电流的变化特性。计算任务量一般都比较繁重，对数字化测量系统的配置要求也比较高。

7、主要研究目标

固然，准确地计算出短路电流的波形成份是能够预测出短路电流的变化特性的，但这属于“曲线救国”，最终还需“返璞归真”。本项目的研究目标是摒弃复杂的数字滤波算法，独辟蹊径地通过三角变换和代数运算推导出一个形式简单、直接能预测短路电流变化特性的数学公式，并用数学定理加以证明。此外，还分别用样本函数和实测数据进行仿真实验，验证算法的工程实用性，为推广应用提供依据。

 

二、短路电流及其实测波形

1、短路电流及其离散时间序列

短路电流是由直流衰减分量、基波分量和高次谐波分量组成的，一般表达式为

(1)

其中，i(t)为暂态短路电流；D为直流衰减分量的初始值；τ为直流衰减分量的时间常数；ω为基波分量的角频率，ω=2πf，f是电源频率；h为谐波的最高阶数；A_k为基波(k=1)或高次谐波分量的幅值；φ_k为基波(k=1)次高次谐波分量的初相角。

在数字化测量中，每隔一固定时间间隔（采样周期）测量一次短路电流，所测得的短路电流不是连续而是离散的。对于公式(1)，离散短路电流的表达式为

(2)

其中，n为离散采样点的序号，n=0, 2, …, m-1；m为采样点数；T_S为采样周期。

每个基波周期的采样次数N是正整数，即N=1/(T_S f)，所以公式(2)也可以表示为

(3)

也就是说，以计算机为核心的数字化测量系统所采集的短路电流是离散的，如果采集了m个点，则这m个点的短路电流值分别为i(0), i(1), i(2), …, i(m-1)。

尽管这m点乃至其后的短路电流变化特性可以用公式(2)或公式(3)加以表示，但参数D, τ, A_k和φ_k均是未知量，即使知道i(0), i(1), i(2), …, i(m-1)，也难以知道短路电流以后怎么变化。本项目的研究目标就是根据已知这m个短路电流的离散值，预测出其后若干个离散采样时刻短路电流的瞬时值i(m), i(m+1), i(m+2), …，进而估计出短路电流的过零点。

2、短路电流的实测波形

为了观察和得到实际的短路电流，我还进行了模拟实验，用记忆示波器随机测试了几组短路电流，图1所示为我所搭建的模拟实验线路。在这个实验中，为模拟真实短路电流的直流衰减分量，我在电路中加上了电感。为保证安全，我用隔离变压器将220伏特的交流市电降为5伏特的交流电压，在线路中串联了一个电阻，并将示波器并在电阻的两端，虽然测量的是电阻上的电压，但该电压除以电阻就是电流。示波器的采样频率是1kHz，即每隔1ms测量一次。图2所示为测量波形，虽然这些波形看上去是连续的，但如果将时间放大，它们是离散的。在测试后，我还利用记忆示波器中的波形分析软件对实测短路电流的波形进行了分析，结果表明实际短路电流的确是由直流衰减分量、基波分量和少量的高次谐波分量组成的。

图1 模拟实验线路及测试仪器

 

图2 实测短路电流及其频谱图

 

 

三、短路电流变化特性预测公式的推导及其证明

1、基本思想

虽然短路电流的波形成份是由几种典型分量构成的，但直接根据i(0), i(1), i(2), …, i(m-1)估计公式(3)的参数并不容易，国内外学者提出了一些方法，如傅氏滤波算法、最小二乘参数法辨识、自适应神经网络等，但一来需要对短路电流数学模型进行简化处理，这对精度有一定影响；二来计算公式比较复杂，计算任务量比较大。

我的研究方案是通过简单的算术运算，用i(0), i(1), i(2), …, i(m-1)替代公式(3)中的指数函数和三角函数，进而推导出一个预测i(m)的数学公式，接着再用i(1), i(2), i(3), …, i(m)计算出i(m+1)。这样，虽然没计算出公式(3)中的具体参数，但直接就可以预测出i(m-1)之后的i(m), i(m+1), i(m+2), ….，而这恰好就是短路电流的变化特性。不仅没走弯路，还不用对短路电流数学模型进行简化处理，由此还有利于提高计算精度。

2、从简单开始

首先分析h=1（即短路电流仅含直流衰减分量和基波分量）的情况。

先用i(0), i(1), i(2), …, i(m-1)这m个已知数去消除公式(3)中的三角函数。从公式(3)可得

(4)

如将i(0)和i(N/2)相加，其和S(0)为

(5)

可见，S(0)中没有基波分量了。

将采样时刻向后移一个数据点，则i(1)和i(N/2+1)之和为

(6)

这样S(1)中也不含有基波分量了。如果用公式(6)除以公式(5)，还可以求出直流衰减分量中的

(7)

再将采样时刻向后移一个数据点，可以求出

(8)

将式(5)和式(7)代入式(8)，整理后可得

(9)

由公式(9)可以看出，只要通过测量得到了5个短路电流的离散采样值i(0), i(1), i(2), i(N/2)和i(N/2+1)，就可以计算出S(0)和S(1)，进而就可由公式(9)递推出未知的i(N/2+2)。

如果将i(1), i(2), i(3), i(N/2+1)和i(N/2+2)作为已知量，则可进一步递推出i(N/2+3)。重复此过程，依次可以递推出i(N/2+4), i(N/2+5), …。

可见，对仅含有直流衰减分量和基波分量的短路电流，预测其变化特性的数学公式为

(10)

其中，n为递推序号，n=2, 3, …。

从完成递推计算所需要的原始数据看。式(10)所需的采样时间为半个基波周波N/2加1个采样周期，采样时间窗仅需10ms，远远小于1个基波周期（现有的算法均需是1个基波周期）。

3、数学归纳及通用数学公式

在大多数应用场合，短路电流除含有直流衰减分量和基波分量外，还含有高次谐波分量。如果对于含有任意阶次高次谐波的短路电流仍能找到一个算术求和公式，使式(5)、式(6)和式(10)恒成立，则也以推导出预测一个“放之四海”的通用公式。为此，我又进行了深入的研究。

设h=2，即短路电流含有直流衰减分量、基波分量和2次谐波分量，由公式(3)得

(11)

利用三角函数变换，可以证明

(12)

其中，n=0, 1, …。

同理可以推导出预测含有直流衰减分量、基波分量和二次谐波分量短路电流的算术递推公式

(13)

其中，n为递推序号，n=2, 3, …。

从公式(13)可以看出，只要通过测量采集到i(0), i(1), i(2), i(2N/3)和i(2N/3+1)，就可以由公式(13)依次递推出未知的i(2N/3+2), i(2N/3+3), i(2N/3+4), …。

采用数学归纳法，可以推导出h为任意值时的预测短路电流变化特性的数学递推公式

(14)

其中，n为递推序号，n=2, 3, …； 。

由式(14)可以看出，不论短路电流中的谐波阶次h有多高，只要采集到并测量出i(0), i(1), …, i(hN/(h+1)+1)，就可以按照式(14)依次计算出i(hN/(h+1)+2), i(hN/(h+1)+3), …，由此得到短路电流的变化特性。式(14)即为分析含有h次及h次以下谐波短路电流变化特性的算术递推公式。

式(14)所需的采样时间窗为h/(h+1)个基波周期加1个采样时间窗，h越高，所需的采样时间窗越长，但最长不会超过1个基波周期。对于含有直流衰减分量的短路电流来说，该算法需要的采样时间窗不比已有的算法长，且可以针对任意次谐波，计算量也非常小，易于软件编程。

对于公式(14)而言，如果h不同，采样时间窗是不同的，为h/(h+1)个基波周期加1个采样周期，由于采样周期必须小于1/h，所以不到1个基波周期。实际应用时应根据h的大小，确定采样周期、采样时间窗。

由于h不同，递推公式有所不同。为了有所区分，我们称h=1时的递推公式为半波算术递推公式，h=2时的递推公式为2/3波算术递推公式，……，依次类推。

4、数学证明

为从证明其严密性，我采用复数知识进行了证明。设谐波的最高阶数为h，从公式(3)得

(15)

将上式相加，其和为

(16)

将三角函数展开，得

(17)

其中，

(18)

设

因为 ，所以 =0。

设复数

则

∵U=0，∴V=-1。因此

同理可以证明

由此可得

由于

所以，

进而

通过以上推理，可以证明公式(14)是成立的。

 

四、短路电流算数递推预测模型的数值仿真

1、实验设计

为了验证上述公式的正确性以及其在工程上的实用性，我使用Matlab程序对递推公式进行仿真。分别设计了以下四个实验。

(1) 对样本函数进行数值仿真：首先根据短路电路的理论模型随机给出一个测试函数，再按照一定的采样时间间隔得到一组离散的采样值，当然此时的时间间隔仍然必须满足公式(14)中谐波阶数的要求。随后将得到的“采样值”代入公式公式(14)，逐次进行递推运算，用plot函数描述测试函数、仿真函数曲线，通过对比观察二者的拟和程度

(2) 分析模数转换器(Analog-to-Digital Conversion, ADC)的有效位数对算法精度的影响：考虑数字化测量的特点，各种模拟量需要转化为计算机所采用的2进制的数，这就需要使用模数转换器。可是模数转换器的位数越高，所需的转换时间就越长，价钱也贵，甚至可能没有工业产品。因此，我想看一看这个算法对模数转换器的精度是否要求很高。我按照数字量的有效位数，将在Matlab中用实数表示的根据测试函数生成的离散“采样值”转换成与模数转换器有效位数对应的模拟量，设计了虚拟的模数转换器，再用公式(14)进行了仿真分析，观察预测函数曲线与原测试函数的拟和程度，通过比较确定了模数转换器的有效位数。

(3) 分析电路噪声对算法精度的影响：任何一个测量电路都存在噪声，所以电路的信噪比，原始信号在进入模数转换器之前混杂了一些噪声信号，这会对预测结果产生影响，我利用白噪声函数给测试函数施加了一个“噪声源”，模拟实际电路的噪声，然后再用公式(14)进行仿真分析，通过比较确定了对测量电路信噪比的要求，以便确定这个算法是否需要采用精度非常高的电路才能实现。

(4) 分析电网频率偏移对算法精度的影响：国家标准规定，电网频率的允许误差是±0.5Hz。为了验证电网频率偏移会不会影响算法的精度，我改变了测试函数的频率，生成频率偏移了的离散采样值，用公式(14)进行了验证，观察预测函数曲线与测试函数曲线的拟和程度。虽然误差不太大，我还是给出了纠偏措施。

(5) 最后我还实测了若干组短路电流，并用实测数据进行了仿真验证。

2、实验一：样本函数的数值仿真

为对短路电流波形变化特性算术递推方法进行验证，先采用Matlab软件对样本函数进行测试。

任选一表达式为 的测试函数，我按照2/3波算术递推公式进行验证。

为不失一般性，τ由大至小取了几个典型值，分别为0.5s、0.1s、0.05s和0.02s。每个基波周期的采样次数N应该是3的整数倍。取N=30，图3所示为采用2/3波算术递推公式进行计算的仿真函数曲线和样本函数曲线。从图1可以看出，预测函数曲线与样本函数曲线拟合得非常好，二者完全重叠，可见，算术递推法具有很高的预测精度。

图3 不同τ下2/3波算术预测公式的短路电流仿真曲线和测试样本曲线

3、实验二：ADC有效位数对算术递推算法的影响

在数字化测量过程中，ADC存在量化误差，由此会影响算法的精度，为此我通过仿真分析确定ADC的有效位数（Effective Number of Bits, ENoB）应该多大，以确定该算法对数字测量器件的要求有多高。任选一格测试函数 ，将采样点上的数转换成了数字量，用Matlab对量化后的样本进行了仿真。每个基波周期的采样次数N=32，图4所示为ADC的有效位数分别为10bit和12bit时三种算术递推公式的仿真函数曲线和样本函数曲线。

图4 ADC有效位数为10bit和12bit时三种算术递推公式的仿真函数曲线和样本函数曲线

 

从仿真结果可以看出：当ADC的有效位数ENoB=10bit时，三种算术递推公式的仿真函数曲线均能很好地与样本函数曲线相拟合，二者之间仅有很小的偏差；当ADC的有效位数ENoB=12bit时，二者几乎完全拟合在一起。从图4的仿真结果可以看出，短路电流算术递推算法对ADC的分辨率要求不高，10bit的ADC就能满足一般要求，12bit的ADC就可以达到近乎理想的效果。

4、实验三：电路噪声对算术递推算法的影响

实际测量信号都含有一定的噪声信号，这会对预测精度产生影响。为此，我对混有噪声信号的样本函数进行了仿真验证。

样本函数的表达式为 ，v(t)为白噪声信号，采用7/8波算术递推模型进行计算。A/D转换器的有效位数ENoB=12bit，图5所示为信噪比（Signal to Noise Ratio, SNR）SNR=40dB和SNR=60dB时的仿真函数曲线和样本函数曲线。由图4可以看出，对于给定的样本函数，当SNR=40dB时，仿真函数曲线的变化特性与样本函数曲线基本一致，但分散性较大，零点估计误差在±600μs之间；当信噪比SNR=60dB时，仿真函数曲线与样本函数拟合得较好，分散性大大减小，零点估计误差仅在±50μs之间，能满足开关电器同步开断的控制精度。

图5 SNR为40dB和60dB时算术递推法的仿真函数曲线和样本函数曲线

 

5、实验四：电网频率偏移对算术递推算法的影响

在算术递推公式的建模时，要求若干个采样点的三角函数的算数代数和为0。但如果电网频率发生偏移，这个要求不能得到满足，由此会影响预测精度。

为分析电网频率偏移对算术递推算法的影响，选取 作为测试函数，ADC的ENoB=12bit，每个工频周期的采样次数N=32，采样周期 ms，采用7/8波算术递推公式进行计算。

我国国家标准规定，电网频率的允许波动范围为50±0.5Hz，图6所示为电网频率为49.5Hz和50.5Hz时的仿真函数曲线和样本函数曲线。由图6可以看出，当电网频率发生偏移时，预测函数与样本函数之间出现了一定的偏差，当电网频率为49.5Hz，采样点后短路电流第1~5个过零点的估计误差分别为-246μs, 153μs, -297μs, 170μs和157μs；当电网频率为50.5Hz时，采样点后短路电流第1~5个过零点的估计误差分别为298μs, -121μs, 262μs, -126μs和266μs（正数代表提前，负数代表滞后），能够满足控制精度。

图6 电网频率为49.5Hz和50.5Hz时算术递推算法的仿真特性曲线和样本函数曲线

 

在实际应用中，如果能根据电网频率实时调整采样周期，基本可以消除此项误差。

6、实验五：实测数据的仿真结果

最后，我还采用公式(14)对实测短路电流的变化特性进行了仿真分析，ADC的ENoB=12bit，采用7/8波算术递推公式进行预测。图7所示为其中一组实测短路电流及其仿真函数曲线。从7a可以看出，仿真函数曲线与实测短路电流拟合得非常好。从图7b~7f的零区放大图可以看出，短路电流的第1~5个零点估计误差分别为121, 31μs, 137μs, 66μs和134μs，零点估计误差小于±200μs。此外从图7b~7f的零区放大图还可以很明显地看出经过数字化测量后，短路电流是按照离散的形式和量化的形式加以表示的。

图7 实测短路电流及其仿真函数曲线

我对所测几组实测短路电流进行了仿真，结果都非常理想。可见，本研究课题所提出的短路电流波形预测算法能满足工程需要（以电流零点的参照，工程上要求的预测精度是±0.5s）。

 

五、结束语

根据实际采集的离散短路电流值准确地预测短路电流的变化特性是实现开关电器同步分断的前提，本研究项目从短路电流的一般表达式出发，利用初等数学所学的三角函数和代数运算建立了预测短路电流零点变化特性的数学公式。该公式需要的采样时间窗口与已有的预测方法相同，但不用间接计算短路电流的特征参数，运算速度快，且对数字化测量系统的硬件配置要求不高，软件编程特别容易，有非常好的工程实用价值。

 

 

 

主要创新点

(1) 从短路电流的一般数学表达式出发，采用初等数学的三角变换、代数运算和递归算法推导出预测含有直流衰减分量、基波分量和任意阶次谐波分量短路电流变化特性的数学公式，并利用复数知识进行了证明；

(2) 结合工程应用的特点，确定了模数转换器的有效位数和测量电路的信噪比，并对电网频率偏移对算法预测精度的影响进行了分析，提出了纠偏措施；

(3) 对实际短路电流进行仿真验证，结果表明所提出的预测算法能满足工程需要

 

 

主要参考文献

[1] 陈德桂, 耿英三.开关电器的智能操作.电工技术杂志,2001(4):26-29.

[2] 邹积岩.智能电器.北京:机械工业出版社,2006.

[3] Accepted papers for 2005 CIGRE SC A3 & B3 Joint Colloquium in Tokyo, http://www.cigre-jnc.org/sc_a3b3_2005/list_of accepted_synopses.htm.

[4] K. Horinouchi, M. Tsukima, N. Tohya, et al. Synchronous Controlled Switching by Vacuum Circuit Breaker (VCB) with Electromagnetic Operation Mechanism. Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Electric Utility Deregulation, Restructuring and Power Technologies, 2004(1 and 2): 529-534.

[5] 段雄英,廖敏夫,丁富华等.相控开关在电网中的应用及关键技术分析.高压电器,2007,43(2):113-117.

[6] 刘绍俊. 高压电器. 北京: 机械工业出版社, 1982.

[7] 庞浩, 李东霞, 俎云霄等. 应用 FFT 进行电力系统谐波分析的改进算法. 中国电机工程学报, 2003, 23(6): 50-54.

[8] 郑清水, 马志瀛. 短路电流实时计算的递推最小二乘校正算法. 高压电器, 2004, 40(4):241-244.

[9] 周大敏, 龙燕. 一种不受衰减非周期分量影响的最小二乘滤波算法. 电网技术, 1999, 23(3):31-37.

[10] 方春恩, 段雄英, 邹积岩. 基于自适应神经元的短路电流参数提取. 中国电机工程学报, 2003, 23(8):115-118.